در پست قبل گفتم که شبیه­سازی سیستم­های با بیش از چند ده هزار ذره به روش دینامیک مولکولی با تجهیزات رایانه­ای معمول بسیار زمان­بر هست و برای سیستم­های بزرگتر به صرفه نیست. خوب همه ما می­دونیم که چند ده هزار اتم تنها یک ذره چند نانومتری است. پس برای سیستم­های بزرگ یا توده، bulk، چه می­توان کرد؟

برای حل این مشکل از شرایط مرزی متناوب، periodic boundary condition، استفاده می­شود. در این شرایط یک سیستم حاوی N اتم در یک مکعب را در نظر بگیرید. اتم­های سطحی این سیستم به علت وضعیتی که دارند رفتار خاصی دارند. و همین تفاوت اصلی سیستم­های کوچک با سیستم­های بزرگ است. حال تصور کنید که اطراف این مکعب را با 26 مکعب مشابه دیگر بپوشانیم. در این صورت مشکل برای سیستم اولیه حل خواهد شد. سوال که پیش می­آید این است که پس سطوح جدید چه؟ جواب این است که سطوح جدیدی وجود ندارد. و در واقع آن 26 مکعب وجود ندارند و تنها کپی مجازی از سیستم اولیه هستند. به این ترتیب اثر سطح حذف می­شود. اگر اتمی از یکی از وجوه مکعب خارج شود، از سمت دیگر وارد مکعب می­شود. دقیقن مانند یه بازی آتاری که من به خاطر دارم وقتی شخصیت بازی از سمت راست خارج می­شد، از سمت چپ تصویر وارد صفحه تلویزیون می­شد و برعکس. به کمک این شرایط مرزی سیستمی شبیه­سازی خواهد شد که رفتار مشابه سیستم بزرگ یا توده را خواهد داشت.

برای اعمال شرایط مرزی متناوب می­بایست ظرفی انتخاب کرد که فضا پر کن باشد یعنی از کنار هم قرار دادن کپی­های آن در کنار هم  فضا کاملن پر شود. مانند مربع، مستطیل و شش ضلعی در فضای دوبعدی و مکعب، مکعب مستطیل و یک هشت­وجهی ناقص در فضای سه بعدی. و به علاوه می­بایست بتوان با یک انتقال بدون دوران کپی آنها را کنار هم چید (چرا؟)

اندازه ظرف شبیه­سازی نیز محدودیتی دارد. و حداقل آن این است که یک ذره در سلول اصلی با کپی خودش در سلول­های کپی همسایه برهمکنش نداشته باشد. درباره اینکه در چه فاصله­ای دو ذره دیگر برهمکنشی با هم ندارند در پست دیگری توضیح می­دهم.

در یکی از پست­های قبل ، مقدمه­ای درباره روش شبیه­سازی دینامیک مولکولی نوشتم. فرایندی که در هسته مرکزی محاسبات یک برنامه شبیه­سازی دینامیک مولکولی تکرار می­شه عبارت است از

نیروی بین ذرات > شتاب ذرات > سرعت ذرات > موقعیت جدید ذرات

به کمک اطلاعاتی که درمورد موقعیت و سرعت ذرات در لحظه t داریم و با طی پروسه فوق اطلاعات مربوط به لحظه t+dt را به دست می­آوریم. با مشتق گیری از پتانسیل بین اتمی، رابطه نیرو به دست می­آید. و از آن به بعد از مکانیک نیوتونی استفاده می­شود.

ساده ترین و پرکاربردترین پتانسیل که برای ذرات اتمی به کار می­رود به نام پتانسیل لنارد-جونز معروف هست. منظور از پتانسیل، رابطه­ای است که بین انرژی دو ذره و فاصله بین آنها برقرار است. چون این انرژی، انرژی پتانسیل سیستم مورد نظر (دو ذره) است به آن پتانسیل می­گوییم. رفتار سیستمی که از این پتانسیل تبعیت می­کند شبیه به گازهای نجیب سبک مثل آرگون است. اینجا می­توانید در مورد این پتانسیل بیشتر بخوانید و نمودار آن را ببینید.

برای بررسی خواص و ویژگی­های مواد و یا برای مقایسه مواد، استفاده از پتانسیل های پیچیده تری مورد نیاز است تا معرف کامل ماده مورد نظر باشد. اما اگر بخواهیم موضوعاتی کلی مثل آنتروپی و رابطه آن با دمای یک سیستم یا هندسه عبور گاز از یک حفره کوچک را بررسی کنیم، پتانسیلی مانند پتانسیل لنارد-جونز مناسب و مفید است.

ساده­گی پتانسیل از زمان شبیه­سازی می­کاهد و این بسیار مهم هست.

تصور کنید N اتم در سیستم وجود داشته باشد. اگر بخواهیم تا برهمکنش این اتم و N-1 دیگر را بدانیم، به ازای هر dt که به پیش می­رویم باید N(N-1)/2 محاسبه­ی نیرو انجام دهیم! و بنابراین هرچه پتانسیل ساده­تری داشته باشیم بهتر است.

به این ترتیب به نظر می­آید به این زودی­ها نمی­توان حتی یک قطره آب (چیزی حدود 3*10e23 مولکول) را شبیه­سازی کرد!؟ اما راه­های دیگری هم برای حل این مشکل هست که در پست بعدی در مورد آن می­نویسم.

تصور کنید که یک سیستم با N ذره وجود دارد که ما موقعیت همه ذرات، سرعت آن­ها و اندازه و جهت نیروهای بین آن­ها را در لحظه t­₀ می­دانیم. بنابراین با حل معادلات حرکت نیوتن می­توانیم موقعیت و سرعت همه ذرات را در زمان t₁ که کمی بعد از t₀ هست به دست آوریم. حال اگر این روند را برای زمان قابل توجهی ادامه بدهیم، در واقع داریم  رفتار سیستم را مورد بررسی قرار می­دهیم. این فرایند یک روش شبیه سازی موسوم به Molecular Dynamics است.

برای چنین شبیه سازی ای، مهمترین چیز آن است که رابطه نیروهای بین ذره ای را داشته باشید. این روابط تقریبن برای هر دو نوع اتمی منحصر به فرد است. بیشتر این روابط را به کمک اندازه گیری دقیق آزمایشگاهی تخمین می­زنند و بعضی را هم با حل معادله شرودینگر به دست می­آورند. منابع زیادی در این باره در دسترس هست.

بعد از آن شما باید سیستم مورد نظرتان را تعریف کنید و آن را به کمک آن نیروها به راه بیاندازید. مثلن می­خواهیم بدانیم ضخامت یک قطره کوچک روغن وقتی در یک دمای مشخص روی سطح آب پخش می­شود چقدر می­تواند باشد؟ و مثلن آیا ضخامت این لایه با اندازه قطره رابطه­ای دارد؟

در پایان شبیه سازی شما مجموعه ی کاملی از اطلاعات در مورد موقعیت، سرعت و انرژی تک تک ذرات و توزیع آن­ها دارید که با تحلیل آن­ها نسبت به زمان می­توانید پارامترهایی مثل دما، فشار، ضریب نفوذ و ظرفیت گرمایی و رفتار آنها را بررسی کنید. و در نهایت به سوال های خود پاسخ دهید.

در حین انجماد چه اتفاقی برای مولکول های آب می­افتد؟، یا یک پروتئین چگونه کار می­کند؟ یا یک مولکول آب با چه سرعتی و چطور می­تواند از داخل یک نانوتیوب کربنی عبور کند؟ MD یکی از بهترین روش هایی ست که می­تواند به این سوال ها جواب بدهد.

همانطور که می­توان حدس زد در این روش مقدار محاسبات بسیار زیاد است. طوری که بزرگترین شبیه سازی کامپیوتری در این روش نتوانسته بیشتر از چند میلیون اتم را شبیه سازی کنند، آن هم تنها برای چند دهم ثانیه! امروزه این روش بسیار توسعه یافته. اگر فکر می­کنید به این روش علاقه دارید کافی ست چند دقیقه ای راجع به آن در گوگل جستجو کنید. اطلاعات بسیار زیادی پیدا خواهید کرد. من هم در این باره، در آینده بیشتر می­نویسم.

یک آزمایش ذهنی، به نظر شما اگر سوار بر یک باریکه  نور حرکت کنیم، چه می­بینیم؟ فرض کنید همه شرایط ایده­ال باشد. من هم دارم سعی می­کنم به این سوال جواب بدهم.

تکمیلی (۶june) :

بنا بر اصل عدم قطعیت، باید Δq.Δp<ћ. در صورتی می شه یک جسم را دید که بتونیم به اندازهΔq  قدرت تفکیک داشته باشیم.خوب اطلاعات زیر را داریم

Ћ  =1.054572*10e-34  J.s

m =9.109*10e-31        Kg

Δp=m.Δv

 که m جرم الکترون و v نماد سرعت است ( مومنتوم برابر است با جرم در سرعت). حالا اگه در نظر بگیریم که

Δv=Δq/Δt

در اینصورت بنابر اصل عدم قطعیت وروابط بالا

(Δq)²<1.15773*10e-4 *Δt

بنابراین با کاهش سرعت الکترون (افزایشΔt) به راحتی باید بشه الکترون را دید (درک کرد). چون مقدار Δq به اندازه کافی بزرگ می شه. پس این کار خیلی ساده است. ما به راحتی الکترون را می بینیم (آشکار کردن الکترون خیلی ساده است) اما برای شکل اون نمی تونیم تصویری ارائه بدیم.

از یک منظر دیگه ارائه تصویر الکترون در مورد یک الکترون تنها در اتم قضیه فرق می کنه. در اینجا مقدار Δq تا حدود فاصله بین دو مدار الکترون در یک اتم (در بهترین شرایط هیدروژن) کاهش می یابد.

امواج الکترومغناطیس (به عنوان ابزار) چنین فواصلی را درک می کنند (طول موج اون هادر این حدود می تونه باشه) اما باکوچک شدن طول موج انرژی به شدت بالا میره (رابطه عکس) و دیگر مسئله برهم کنش مطرح میشه که خوب دیگه آشکار سازی تصویری منتفیه.

جالبه که قوی ترین ابزار تصویری در حال حاضر دستگاه های Transmission Electron Microscopy . TEM هستند که از الکترون به عنوان آشکارساز استفاده می کنن.

پی نوشت: این مطلب همینطوری به ذهنم رسید. نمی دونم استدلال های اولیه من کاملا درست هست یا نه! اگه کسی چیزی اضافه کنه ممنون میشم.

در پست اخیر وبلاگ علمیران  مطلبی درباره نظریه نسبیت و ارتباط آن با یک آیه قران نوشته شده. در این مطلب با استفاده از گفته قران که "فرشتگان و ارواح در يك روز به او (مذكر) صعود كردند كه اين معادل پنجاه هزار سال براي انسان است"! و به کمک رابطه نسبیت خاص

t0/t = (1 - v^2/c^2)^0.5

برای زمان سرعت حرکت فرشتگان محاسبه شده که برابر با 299792457.9999994 m / s به دست اومده که مطابق با عقیده مسلمانان در مورد فرشته هاست که آنها با سرعت نور حرکت می کنند. و در نهایت نتیجه گرفته که این تطابق آیه با نسبیت یک معجزه است! من محاسبات را دوباره انجام دادم که به نظرم درسته.

اما به نظرم اساس استدلال نادرسته چون درجه خطا در این معادلات وارد نشده. همونطور که می دونیم کسر  t0/t  با افزایش سرعت به سمت صفر میل می کنه. فرض کنیم انحراف در سرعتی که اینجا محاسبه شده حداکثر پنج دهم درصد باشه بنابراین سرعت فرشته ها بین سرعت نور 299792458 و پنج دهم درصد کمتر یعنی 298293496 متر بر ثانیه می تونه باشه.

حالا اگر با حد پایینی سرعت که من اینجا نوشتم نسبتt0/t  را محاسبه کنیم با دقت 9 رقمی میشه 0.09987491 یعنی 10.0125247 روز برای انسان در مقابل یک روز برای فرشته ها! بنابراین بازه ای که جواب با دقت پنج دهم درصد درست است بین 10روز (0.03 سال)  تا بی نهایت است! (که البته مقدار 50000 سال نیز در همین بازه است!) به بیان دیگه مثلا اگر به جای 50000 سال می گفتیم 2 ماه یا یک میلیارد سال یا ... باز هم جواب قابل قبول بود!

عکس این محاسبات نیز به راحتی همین مطلب را نشان می دهد. اگر به جای 50000 سال یک میلیون سال هم باشد! تنها دقت سرعت به 299792457.99999999884339329475309  می رسد یعنی تقریبا 3.68 ضرب در 10 به توان 16- درصد خطا دارد. یعنی این مقدار سال،t ، حد بالایی نداره و حد پایینی با دقت تعیین میشه!

به بیان دیگه اینجا به جای 50000 هرعدد دیگری بالای 1 (وحتی کوچکتر!) هم گفته می شد بازهم می شد همین برداشتی را کرد که از اون محاسبات شده! و این طور استدلال اصلا درست نیست چون یک باور کاذب و اشتباه ایجاد می کنه!

...

خوب این امر به خودی خود چندان بحث انگیز نیست. اما اینکه که او در مقابل نظریه مکانیک کونتومی سرسختانه مقابله میکنه و استدلالش هم این بوده که: "خدا هیچ وقت تاس نمی اندازد." برای من کمی عجیبه. کسی میدونه که مفهوم علمی این حرف اینشتین کجاست؟ یعنی دقیقا به چه چیز مکانیک کوانتوم ایراد میگیره؟